02-4：向量范数

矩阵论02-4：向量范数

1 向量范数

现在对一般定义的范数进行推广，使其可以被自定义。
定义：设V是数域F上的线性空间，如果对于V中任意一个向量x，都有一个实数$||x||$与之对应，且满足：

1. 正定：$|x|\geq 0$，仅当$x=0$时$||x||=0$
2. 齐次：$||kx|| = |k|\cdot ||x||$
3. 三角不等式：$||x+y||\leq ||x||+||y||$

那么称$||\cdot||$式向量空间V上的向量范数，定义了向量范数的线性空间称为赋范线性空间。记作$(V,||\cdot||)$。

向量范数的性质:

1. $||\theta|| = 0$
2. $||||x||^{-1}\cdot x|| = 1$, $||x||\neq 0$
3. $||-x|| = ||x||$
4. $|||x|| - ||y|||\leq ||x-y||$

1.1 在$C^n$上常用的向量范数及性质

1-范数：绝对值或模度量

$$||x||_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$$

2-范数：平方或欧式度量

$$||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2} = \sqrt{(x^Hx)}$$

$\infty$-范数:最大值度量

$$||x||_{\infty} = \max_i |x_i|$$

p-范数：p度量

$$||x||_p = (\sum_{i=1}^n|x_i|^p)^{\frac{1}{p}},\ \ \ \ \ \ \ (p\geq 1)$$

补充两个重要不等式
设$\forall a_1, b_i\in C$

1. Holder不等式

   $$\sum_{i=1}^n|a_ib_i|\leq(\sum_{i=1}^n|a_i|^p)^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^n|b_i|^q)^{\frac{1}{q}}$$

   参数需满足$p>1, q>1$，且$1/p + 1/q=1$

2. Minkowski不等式

   $$(\sum_{i=1}^n |a_i+b_i|^p)^{\frac{1}{p}}\leq (\sum_{i=1}^n|a_i|^p)^{\frac{1}{p}}+(\sum_{i=1}^n|b_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$

   参数需满足$p\geq 1$

1.2 向量范数的等价性

定义：给出n维线性空间$C^n$中定义了两种向量范数$||\cdot||_\alpha$, $||\cdot||_\beta$，若存在两个常数$m>0$, $M>0$，使得$\forall x\in V(F)$，有

$$m||x||_\beta \leq ||x||_\alpha \leq M||x||_\beta$$

则$||\cdot||_\alpha$, $||\cdot||_\beta$等价。等价具有自反性(自己与自己等价)，对称性($\alpha\sim \beta, \beta\sim \alpha$)，传递性($\alpha\sim \beta,\beta\sim \gamma,\alpha \sim \gamma$)

1.3 重要定理

定理1：设$||\cdot||$是$C^n(或R^n)$中的一种向量范数，则$\forall x\in C^n$，$x=[x_1,\dots,x_n]^T$，$||x||$是其分量$x_1,\dots,x_n$的连续函数。

定理2：n维线性空间$C^n$(或$R^n$)中任意两种向量范数等价。