02-5：矩阵范数

矩阵论02-5：矩阵范数

1 定义

矩阵范数：设$F^{n\times n}$是数域$F$上所有n阶方阵全体构成的线性空间。则$||\cdot||: F^{n\times n} \rightarrow R$称为矩阵范数。范数对于任意矩阵$A,B\in F^{n\times n}$满足下列性质：

1. 正定性$||A||\geq 0$, 当$A=0$时$||A||$才为0
2. 齐次性：$||kA|| = |k|||A||$
3. 三角不等式：$||A+B||\leq ||A||+||B||$
4. 相容性：$||AB||\leq ||A||||B||$

2 常用矩阵范数

$m_1$-范数：

$$||A||_{m_1} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|$$

$m_2$-范数:

$$||A||_{m_2} = (\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2)^{\frac{1}{2}}$$

$m_\infty$-范数:

$$||A||_{m_\infty} = n\cdot \max_{i,j}|a_{ij}|$$

当类比向量范数的时候，最大值度量($||\cdot||_\infty$, $m_\infty$)是不同的，这是因为矩阵范数要满足相容性，乘上n之后才会满足相容性不等式

2 F范数

定义：我们把$m_2$范数称作Frobenius范数，简称$F$-范数，记作$||A||_F$。

2.1 重要定理

定理1：给出$A = [a_{ij}]\in C^{n\times n}$, $A$的$F$范数$||A||_F$满足以下几个等式。

1. 用$\alpha_j$代表矩阵A的第$j$列，则有

   $$||A||_F^2 = \sum_{j=1}^n||\alpha_j||_2^2$$

2. $||A||_F = ||A^H||_F$

3. 用$\lambda_i(A^HA)$表示$A^HA$的特征值，tr(A^HA)表示迹，有

   $$||A||_F^2 = tr(A^HA) = \sum_{i=1}^n\lambda_i(A^HA)$$

酉不变性：$\forall A=[a_{ij}]\in C^{n\times n}$，$U$, $V$是$C^{n\times n}$中的酉矩阵，则$||A||_F = ||UA||_F=||AV||_F=||UAV||_F$。即矩阵左乘，右乘，左右乘酉矩阵，矩阵的F范数都不变，

3 矩阵范数的性质

3.1 一般性质

给出$A, B\in C^{n\times n}$, 或$(R^{n\times n})$，有

1. $||O_{n\times n}|| = 0$
2. $||A-B||\geq |||A||-||B|||$(三角不等式的另一边)
3. $||A||$是关于矩阵A各元素$a_{ij}$的连续函数。(类比向量范数与各分量是连续函数)

3.2 矩阵范数等价

设$||\cdot||_\alpha$, $||\cdot||_\beta$是$C^{n\times n}$中定义的任意两种矩阵范数，若存在m, M，使得$\forall A\in C^{n\times n}$都有

$$m||A||_\beta \leq ||A||_\alpha \leq M||x||_\beta$$

，那么两种范数$||\cdot||_\alpha$, $||\cdot||_\beta$是等价的。

与矩阵范数类似，$C^{n\times n}$(或$R^{n\times n}$)里任意两个矩阵范数等价